Práctica #4.
Nombre de la práctica: Implementación de Algebra de Boole a circuitos.
Nombre: David Santiago Martínez Molina
Código: 20181005164
Asignatura: Fundamentos de circuitos digitales
Programa : Ingeniería Electrónica
Docente : César Andrey Perdomo Charry
INTRODUCCIÓN:
Durante este informe se mostrará el desarrollo de la práctica #4. Para esta práctica lo primero que se tenía es realizar el circuito propuesto por el docente, en el simulador CircuitVerse. A partir de este circuito y con los conocimientos adquiridos se procedió a obtener la ecuación de salida, mirando el comportamiento de cada puerta y basándome en la lógica de dichas puertas. Con esta función de salida se logró obtener una función simplificada, con ayuda del álgebra de Boole. Y con respecto a esta función se realizo el circuito reducido.
Tenemos que el álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales, que cuenta con dos elementos (0 y 1) y tres operaciones (suma booleana, producto booleano y negación).
-Suma booleana:
La suma booleana es equivalente a la operación OR
Figura 1. Suma booleana.
-Multiplicación booleana:
La multiplicación booleana es equivalente a la operación AND
Figura 2. Multiplicación booleana.
Como cualquier álgebra, la booleana se basa en un conjunto de teoremas, leyes y axiomas.
Axiomas:
1. El elemento identidad de la suma es el "0".
A + 0 = A
2. El elemento de identidad del producto es el "1".
A · 1 = A
3. La suma es conmutativa
A + B = B + A
4. El producto es conmutativo:
A · B = B · A
5. La suma es asociativa:
(A + B) + C = A + (B + C)
6. El producto es asociativo:
(A · B) · C = A · (B · C)
7. El producto es distributivo respecto de la suma:
A · (B + C) = (A · B) + (A · C)
8. La suma es distributiva respecto del producto:
A + (B · C) = (A + B) · ( A + C).
9. Para cada valor A existe un valor Ā tal que A· Ā = 0 y A + Ā =1 . Éste valor es el complemento lógico o negado de A.
Teoremas:
A partir de los axiomas pueden definirse ciertas reglas para usar las variables individuales. A menudo esas reglas se denominan teoremas, se tienen qué:
- A + A = A
-
A x A = A
- A
x 0 = 0
- A
+ 1= 1
- A
+ AB= A
- A
+ ĀB = A + B
- A x (A+B) =
A
- A x (Ā+B)
= A x B
Leyes de DeMorgan:
Las leyes de DeMorgan proporcionan una verificación matemática de la equivalencia entre las puertas NAND y negativa-OR, y las puertas NOR y negativa -AND.
Figura 3. Leyes de DeMorgan.
MATERIALES Y EQUIPOS:
Para esta práctica se utilizaron los siguientes materiales:
En el circuito original:
- 4 entradas.
- 19 puertas NOT
- 15 puertas AND de dos entradas
- 4 puertas OR de dos entradas
- 1 salida.
En el circuito reducido:
- 4 entradas.
- 5 puertas NOT
- 6 puertas AND de dos entradas
- 1 puerta OR de dos entradas
- 1 salida.
METODOLOGÍA:
En el desarrollo de esta práctica, se desarrollo el siguiente circuito en CircuitVerse:
Figura 4. Circuito realizado.
Con este circuito realizado, se llenó la siguiente tabla de verdad, realizando las respectivas combinaciones:
Figura 5. Tabla de Verdad circuito original.
Esta tabla de verdad se puede comprobar con el circuito a continuación:
Para obtener la función de salida, se realizo mirando la salida puerta por puerta como se ve en el circuito anterior .
Al realizar el análisis, se tiene que la función de salida de este circuito es:
ANÁLISIS DE RESULTADOS:
Con la función obtenida anteriormente, y basándome en los axiomas, teoremas y leyes del álgebra de Boole, mostrados anteriormente, se tiene que :
Aplicando Leyes de DeMorgan:
Teniendo en cuenta que (A')' = A, (A x A' )= 0 , y realizando propiedad distributiva:
Finalmente obtenemos que la función reducida es :
Con esta función se realizo el siguiente circuito, que es el circuito reducido obtenido:
Con este circuito se realizó la siguiente tabla de verdad, para comprobar que es la misma que la del circuito original:
Figura 6. Tabla de Verdad circuito reducido.
CONCLUSIONES:
- Para este laboratorio como se observo en el análisis de resultados al obtener la ecuación reducida del circuito, es una gran ventaja ya que en el circuito simplificado se redujo en un poco más del 50% las puertas utilizadas. Si montamos este circuito en la vida real, sólo tendríamos que usar 2 integrados 7408 (uno completo y 1/2 del otro), 1 integrado 7404 (se utilizaría casi en su totalidad), y un integrado 7432(sólo se utilizaría 1/4). Mientras que en el circuito original se tendrían que utilizar 4 integrados 7404, 4 integrados 7408, y 1 integrado 7432.
- Gracias al álgebra de Boole en los circuitos digitales, se nos permite reducir los circuitos, y con esto podemos ahorrar dinero de los materiales y ocupar mucho menos espacio a la hora de montarlo en una protoboard.
FUENTES:
- Simulador utilizado : https://circuitverse.org/- Floyd, T. (2006). Fundamentos de Sistemas Digitales (9.a ed., Vol. 1). Madrid, España: PEARSON EDUCACIÓN.
-Brown, S. (2006). Fundamentos de Lógica Digital con Diseño VHDL (Segunda ed., Vol. 1). México, D. F., México: McGraw-Hill Companies.
